多様体の接ベクトルについてなのですが 多様体の接ベクトル

多様体の接ベクトルについてなのですが 多様体の接ベクトル。f。多様体の接ベクトルについてなのですが v∈TpMについてC∞曲線 c:( ε,ε)→Mが存在し dc/dt=vとなることの証明がいまいちわかりません どなたか説明していただけますでしょうか 教科書には、このように記載がありますが、はしょられている部分の途中式 がどうなってるかわかりません 多様体の接ベクトルについてなのですが。

f を点 p の周りで定義された C^∞級関数とする. このとき, 点 p の近傍でf??c=f??φ?1??φ??cが成り立つから, ?? の自然な座標を x[1],x[2],…,x[m] とすれば連鎖律よりdf??c/dt0=Σ[i=1~m]?f??φ?1/?x[i]φc0dx???c/dt0=Σ[i=1~m]?f/?x?pdx???c/dt0=Σ[i=1~m]dx???c/dt0?f/?x?pが成立する. いまφ??ct=φ??φ?1φp+a[1]t,…,a[m]t=φp+a[1]t,…,a[m]tであるからdφ??c/dt0=a[1],…,a[m]である. この等式の左辺の第 i 座標はdx???c/dt0に等しいのでdf??c/dt0=Σ[i=1~m]a[i]?f/?x?pであり, p における方向微分の等式としてdc/dt=Σ[i=1~m]a[i]?/?x?_p=vが成り立つ.

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